비가환 기하학

3. 주요 개념 및 도구

Gelfand representation theorem|겔판트 표현 정리^영어에 따르면, 모든 가환 C* 대수는 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 즉, (국소 콤팩트 하우스도르프) 위상 공간을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상 공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다.

이러한 관점에서, 비가환 C*-대수는 '비가환 위상 공간' 위의 함수대수로 간주된다. 예를 들어, 비가환 원환면은 원환면 위의 함수대수와 유사한 성질을 지녀 '비가환' 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 퍼지 구는 일반 구의 일반화로 볼 수 있다.

리만 다양체의 구조는 함수 대수에 스피너에 대한 미분 연산자 ('''디랙 연산자''')를 추가한 '''스펙트럼 삼중체'''로 나타낼 수 있다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중체는 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

비가환 공간 위에는 호흐실트 호몰로지(Hochschild homology)나 순환 호몰로지(cyclic homology)와 같은 호몰로지 및 연산자 K이론을 통한 K이론을 정의할 수 있다.^{[10][11][12][13]}

비가환 C*-대수의 (형식적) 쌍대는 비가환 공간이라고 불리는 경우가 많다. 이는 가환 C*-대수가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 쌍대임을 보여주는 겔판트 표현과 유사하다.

가측 공간과 가환 폰 노이만 대수 사이의 쌍대성에 대해, 비가환 폰 노이만 대수는 '비가환 가측 공간'이라고 불린다.

리만 구조를 복구하는 대수적 불변량은 스펙트럼 삼중체이다. 깊은 정리에 따르면^[2], 리만 다양체는 이 데이터로부터 복구될 수 있다.

비가환 리만 다양체는 스펙트럼 삼중체 (''A'', ''H'', ''D'')로 정의할 수 있다.

아핀 스킴과 가환환 사이의 쌍대성을 적용하면, '''비가환 아핀 스킴'''의 범주를 결합적 유니탈 환의 범주의 쌍대 범주로 정의한다.

가환 등급환의 콘(Cone)과 Proj의 일반화가 있으며, 이는 Proj에 대한 세르의 정리를 모방한다. 이 정리는 마이클 아르틴과 J. J. 장에 의해 '''비가환 사영 기하학'''의 정의로 확장되었다.^[3]

사영 스킴의 많은 성질들이 이 맥락으로 확장된다. 예를 들어, 아르틴과 장의 비가환 사영 스킴에 대한 세르 쌍대성의 유사성이 존재한다.^[4]

A. L. 로젠버그는 그로텐디크의 연구를 추상화하여 '''비가환 준콤팩트 스킴'''의 다소 일반적인 상대적 개념을 만들었다.^[5] 또한 프레드 반 오스타이엔, 루크 빌라에르트, 알랭 베르쇼렌에 의한 국소화 이론을 통한 또 다른 접근 방식이 있으며, 여기서 주요 개념은 '''스킴 대수'''이다.^[6][7]

비가환 기하학 이론의 몇 가지 동기 부여 질문은 알려진 위상 불변량을 비가환(작용소) 대수와 비가환 공간의 다른 대체물 및 후보의 형식적 쌍대물로 확장하는 것과 관련이 있다. 알랭 콘느가 비가환 기하학에서 추구하는 주요 출발점 중 하나는 비가환 결합 대수 및 비가환 작용소 대수와 관련된 새로운 호몰로지 이론, 즉 순환 호몰로지와 대수적 K-이론(주로 콘느-체른 지표 맵을 통해)과의 관계를 발견한 것이다.

매끄러운 다양체의 특성류 이론은 작용소 K-이론과 순환 코호몰로지의 도구를 사용하여 스펙트럼 삼중항으로 확장되었다. 순환 코호몰로지에서 기본적인 특성류인 JLO 코사이클은 고전적인 체른 지표를 일반화한다.

20세기에 일어난 수학의 발전 과정에서 기하학적인 도형과 그 위의 함수가 이루는 대수계 사이의 밀접한 관계가 인식되기 시작했다.

양자역학에서 물리량을 서로 비가환적인 작용소로 나타내는 패러다임을 시작으로, 함수해석학 및 수리물리학 등의 분야에서 가상적인 도형·공간 위의 함수들을 나타내야 할 대수계로서 비가환환이 발견되었다.

겔판트 표현에 의해 가환 C*-대수는 국소 콤팩트 공간 위의 연속 함수의 대수계로 간주할 수 있으며, 더 나아가 원래의 공간은 가환 C*-대수로부터 자연스럽게 복원할 수 있다.

4. 비가환 미분 기하학

매끄러운 리만 다양체 ''M''은 추가적인 구조를 지닌 위상 공간이다. 연속 함수들의 대수 ''C''(''M'')으로부터 ''M''을 위상적으로 복구할 수 있다. 리만 구조는 스펙트럼 삼중체를 통해 복구할 수 있는데, 이는 ''M'' 위의 매끄러운 벡터 다발 ''E'' (예: 외대수 다발)로부터 구성된다. ''E''의 제곱 적분 가능한 단면들의 힐베르트 공간 ''L''²(''M'', ''E'')는 곱셈 연산자에 의해 ''C''(''M'')의 표현을 가지며, 콤팩트 레졸벤트를 갖는 ''L''²(''M'', ''E'') 내의 비유계 연산자 ''D'' (예: 시그니처 연산자)를 고려한다. 여기서 ''f''가 매끄러울 때마다 교환자 [''D'', ''f'']는 유계이다. 이 데이터를 통해 리만 다양체 ''M''을 복구할 수 있다는 깊은 정리가 존재한다.^[2]

이는 비가환 리만 다양체를 힐베르트 공간 ''H''에 대한 C*-대수 ''A''의 표현으로 구성된 스펙트럼 삼중체 (''A'', ''H'', ''D'')로 정의할 수 있음을 시사한다. 여기서 ''D''는 콤팩트 레졸벤트를 가지며 ''A''의 조밀한 부분 대수의 모든 ''a''에 대해 [''D'', ''a'']가 유계인 ''H'' 위의 비유계 연산자이다. 스펙트럼 삼중체에 대한 연구는 활발하며, 다양한 비가환 다양체의 예시가 구성되었다.

'''비가환 미분다양체'''는 비가환 공간 위에서 미분 기하학을 전개하기 위한 개념이다. 일반적인 미분다양체는 그 위의 매끄러운 함수의 가환환과 접다발, 여접다발 등의 벡터 다발로의 매끄러운 절단으로 특징지어진다. 이 절단들은 매끄러운 함수의 대수 위에서 가군 구조를 가진다. 비가환의 경우, 문제의 대수가 비가환이 되므로, 외미분이나 리 미분, 공변 미분과 같은 개념을 비가환환에 대해 의미를 가지도록 정식화해야 한다. 즉, 미분 형식은 비가환 공간에서의 미분을 정의하는 데 필요한 개념이다.

오른쪽 ''A''-가군 ''E''가 주어졌을 때, ''E'' 위의 Connes 접속(connection)은 다음을 만족하는 선형 사상이다.

:$\backslash nabla\; :\; E\; \backslash to\; E\; \backslash otimes\_A\; \backslash Omega^1\; A$

이는 라이프니츠 규칙 $\backslash nabla\_r(sa)\; =\; \backslash nabla\_r(s)\; a\; +\; s\; \backslash otimes\; da$를 만족한다.^[9]
접속은 벡터 다발의 일반화된 개념으로, 비가환 공간에서 미분 기하학을 전개하는 데 중요한 역할을 한다.

5. 비가환 대수 기하학

쌍대성을 적용하면 아핀 스킴과 가환환 사이에서, '''비가환 아핀 스킴'''의 범주를 결합적 유니탈 환의 범주의 쌍대 범주로 정의한다. 그 맥락에서 자리스키 위상과 유사한 점이 있어서 이러한 아핀 스킴들을 더 일반적인 객체에 붙일 수 있다.

가환 등급환의 콘(Cone)과 Proj의 일반화가 있으며, 이는 Proj에 대한 세르의 정리를 모방한다. 즉, 가환 등급 대수의 Proj 위에 있는 O-가군인 준코히어런 층의 범주는 유한 길이를 가진 등급 가군의 세르 부분 범주에서 국소화된 환에 대한 등급 가군의 범주와 동등하다. 대수가 뇌터 대수일 때는 코히어런 층에 대한 유사한 정리가 있다. 이 정리는 마이클 아르틴과 J. J. 장에 의해 '''비가환 사영 기하학'''의 정의로 확장되었으며,^[3] 이들은 또한 몇 가지 일반적인 환론적 조건(예: 아르틴-셸터 정칙성)을 추가했다.

사영 스킴의 많은 성질들이 이 맥락으로 확장된다. 예를 들어, 아르틴과 장의 비가환 사영 스킴에 대한 유명한 세르 쌍대성의 유사성이 존재한다.^[4]

A. L. 로젠버그는 스킴의 사상과 피복을 준코히어런 층과 평탄 국소화 함자의 범주 측면에서 추상화하여, 그로텐디크의 연구를 추상화하여 '''비가환 준콤팩트 스킴'''의 다소 일반적인 상대적 개념(밑 범주에 대해)을 만들었다.^[5] 또한 프레드 반 오스타이엔, 루크 빌라에르트, 알랭 베르쇼렌에 의한 국소화 이론을 통한 또 다른 흥미로운 접근 방식이 있으며, 여기서 주요 개념은 '''스킴 대수'''이다.^[6][7]

스킴, 특히 사영 대수다양체 위의 (준) 연접층이 이루는 아벨 범주의 변형을 생각함으로써, 비가환 스킴이나 비가환 사영 대수다양체라고 불러야 할 대상이 얻어진다.

6. 응용

비가환 기하학은 물리학과 수학 등 여러 분야에 응용된다.

=== 물리학 ===

양자역학에서 물리량은 힐베르트 공간 위의 작용소로 표현되며, 이는 비가환성에 기초한다. 해석역학의 심플렉틱 위상 공간은 정준 교환 관계를 만족하는 위치 및 운동량 작용소로 나타내는 비가환 공간으로 변형된다(바일 양자화).^[14]

자기장 속 전기 쌍극자를 예로 들면, 좌표의 비가환성은 균일한 자기장 속 전기 쌍극자의 행동과 유사하게 나타난다.^[19][20] 끈 이론과 M-이론에서 중요한 역할을 하며, 비가환 표준 모형과 비가환 양자장론과 같은 물리학의 여러 응용 분야에서 연구되고 있다.^[1] 양자장론 및 끈 이론에서 널리 사용된다.^{[14][15][16][17][18]}

=== 수학 ===

엽층 구조가 주어진 다양체에서, 같은 잎(leaf) 위에 있는 점들을 동일시하여 얻는 잎 공간은 종종 일반적인 도형으로 보기 어려운 특성을 갖는다. 각 잎 위에서 합성곱을 곱셈으로 하는 비가환 대수를 모든 잎에 대해 합쳐 얻어지는 비가환 작용소 환은 이 잎 공간 위의 함수 환을 나타내는 것으로 해석할 수 있다.^[2]

군 ''G''가 위상 공간 ''X''에 작용할 때, ''G''의 군환과 ''X'' 위 함수 환의 결합곱으로 비가환 작용소 환을 얻는다. 이 환의 중심은 ''G''의 작용에 불변인 ''X'' 위 함수들의 대수에 대응하며, 이는 고전적인 의미에서 ''X''를 ''G'' 작용으로 나눈 몫 공간(위의 함수)을 나타낸다.^[2]

동역학계와 관련된 일부 비가환 대수는 수론적 성질을 나타내기도 한다.^[1]

6. 1. 물리학

6. 2. 수학

7. 비가환 공간의 예시

겔판트 표현에 따르면, 모든 가환 C* 대수는 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 비가환 C* 대수는 (실재하지 않는) "비가환 위상 공간" 위의 함수대수로 간주하여 기하학적으로 연구할 수 있다.

• 비가환 원환면: 원환면 위의 함수대수와 유사한 성질을 지녀 "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다.
• 퍼지 구: 일반 구를 일반화한 것으로 볼 수 있다.
• 스나이더 공간: 시공간의 불확정성을 도입하여 얻어지는 비가환 공간이다.^[8]

참조

_[1] 논문 Noncommutative geometry and Matrix theory 1998-02-05
_[2] 논문 On the spectral characterization of manifolds
_[3] 논문 Noncommutative Projective Schemes
_[4] 논문 Serre duality for noncommutative projective schemes American Mathematical Society (AMS) 1997-03-01
_[5] 간행물 Noncommutative schemes https://dx.doi.org/1[...]
_[6] 서적 Algebraic geometry for associative algebras Dekker
_[7] 논문 Grothendieck topology, coherent sheaves and Serre's theorem for schematic algebras https://repository.u[...] Elsevier BV
_[8] 논문 Quantized Space-Time American Physical Society (APS) 1947-01-01
_[9] harvnb
_[10] 저널 인용 Lectures on Noncommutative Geometry 2005
_[11] 저널 인용 Noncommutative curves and noncommutative surfaces 1999
_[12] 저널 인용 Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry 2004
_[13] 저널 인용 On some approaches towards non-commutative algebraic geometry 2005
_[14] 저널 인용 Noncommutative Field Theory 2001-11-29
_[15] 저널 인용
_[16] 저널 인용
_[17] 저널 인용
_[18] 저널 인용 Two Lectures on D-Geometry and Noncommutative Geometry 1999
_[19] 저널 인용
_[20] 저널 인용